Aljabar Linear Contoh

$8 y^{2} = 8 - x^{2}$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$8 y^{2} + x^{2} = 8$

Langkah 1.1.2

Susun kembali $8 y^{2}$ dan $x^{2}$ .

$x^{2} + 8 y^{2} = 8$

Langkah 1.2

Bagi setiap suku dengan $8$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{8 y^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Langkah 1.3

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\sqrt{8 - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\sqrt{8 - 1}$

Langkah 5.3.3.4

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$\sqrt{7}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(\sqrt{7}, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- \sqrt{7}, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 1}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.1.7

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 8.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 8.3.3.2

Pindahkan $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Langkah 8.3.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Langkah 8.3.3.4

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Langkah 8.3.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.3.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 8.3.3.7

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.3.3.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.3.3.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.3.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.3.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Langkah 8.3.3.7.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.4.2

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Langkah 10